मान लीजिए कि क्षेत्र {(x, y) : |2x - 1| leq y | vedclass

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Question

(D) क्षेत्र $0 \leq x \leq 1$ के लिए $|2x - 1| \leq y \leq |x^2 - x|$ द्वारा परिभाषित है।चूंकि $0 \leq x \leq 1$ के लिए $|x^2 - x| = x - x^2$ है,इसलिए

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$125$

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(D) क्षेत्र $0 \leq x \leq 1$ के लिए $|2x - 1| \leq y \leq |x^2 - x|$ द्वारा परिभाषित है।चूंकि $0 \leq x \leq 1$ के लिए $|x^2 - x| = x - x^2$ है,इसलिए असमिका $2|x - 1/2| \leq y \leq x - x^2$ है।वक्र $y = |2x - 1|$ और $y = x - x^2$ जहाँ प्रतिच्छेद करते हैं,वहाँ $x - x^2 = |2x - 1|$ होता है।$x \in [0, 1/2]$ के लिए,$x - x^2 = 1 - 2x \implies x^2 - 3x + 1 = 0$,जिससे $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।$x = 1/2$ के सापेक्ष सममिति के कारण,क्षेत्रफल $A = 2 \int_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2} ((x - x^2) - (1 - 2x)) dx$ है।$A = 2 \int_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2} (-x^2 + 3x - 1) dx = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - x \right]_{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}^{1/2}$.समाकलन को हल करने पर,हमें $A = \frac{5\sqrt{5} - 11}{6}$ प्राप्त होता है।अतः,$6A + 11 = 5\sqrt{5}$।इसलिए,$(6A + 11)^2 = (5\sqrt{5})^2 = 125$।

मान लीजिए कि क्षेत्र $\{(x, y) : |2x - 1| \leq y \leq |x^2 - x|, 0 \leq x \leq 1\}$ का क्षेत्रफल $A$ है। तो $(6A + 11)^2$ का मान $.......$ है।

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