माना वृत्त S: 36 x^{2}+36 y^{2}-108 x+120 y+C | vedclass

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Question

(A) दिया गया वृत्त समीकरण $36 x^{2}+36 y^{2}-108 x+120 y+C=0$ है।$36$ से भाग देने पर,हमें $x^{2}+y^{2}-3 x+\frac{10}{3} y+\frac{C}{36}=0$ प्राप्त होता

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$100 < C < 156$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया वृत्त समीकरण $36 x^{2}+36 y^{2}-108 x+120 y+C=0$ है।$36$ से भाग देने पर,हमें $x^{2}+y^{2}-3 x+\frac{10}{3} y+\frac{C}{36}=0$ प्राप्त होता है।वृत्त का केंद्र $(h, k) = (\frac{3}{2}, -\frac{5}{3})$ है।त्रिज्या $r = \sqrt{h^{2}+k^{2}-\frac{C}{36}} = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}}$ है।चूंकि वृत्त निर्देशांक अक्षों को न तो काटता है और न ही स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र से अक्षों की दूरी त्रिज्या से अधिक होनी चाहिए।$|h| > r$ $\Rightarrow \frac{3}{2} > r$ $\Rightarrow \frac{9}{4} > \frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}$ $\Rightarrow \frac{C}{36} > \frac{25}{9}$ $\Rightarrow C > 100$.$|k| > r$ $\Rightarrow \frac{5}{3} > r$ $\Rightarrow \frac{25}{9} > \frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}$ $\Rightarrow \frac{C}{36} > \frac{9}{4}$ $\Rightarrow C > 81$.इन दोनों को मिलाने पर,हमें $C > 100$ प्राप्त होता है।अब,$x-2 y=4$ और $2 x-y=5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1)$ है।बिंदु $(2, -1)$ वृत्त $S$ के अंदर स्थित है,इसलिए $S(2, -1) $x^{2}+y^{2}-3 x+\frac{10}{3} y+\frac{C}{36} $5-6-\frac{10}{3}+\frac{C}{36} अतः,$100 < C < 156$.

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