माना वृत्त C रेखा x - y + 1 = 0 को स्पर्श करत | vedclass

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Question

(C) माना वृत्त $C$ का केंद्र $(\alpha, 0)$ है जहाँ $\alpha > 0$ है। चूँकि वृत्त रेखा $x - y + 1 = 0$ को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r$ केंद्र से रेखा की

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$19$

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(C) माना वृत्त $C$ का केंद्र $(\alpha, 0)$ है जहाँ $\alpha > 0$ है। चूँकि वृत्त रेखा $x - y + 1 = 0$ को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r$ केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी है:$r = \left| \frac{\alpha - 0 + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{\alpha + 1}{\sqrt{2}}$अतः,$r^2 = \frac{(\alpha + 1)^2}{2} \quad \dots(1)$वृत्त रेखा $3x - 2y + 1 = 0$ पर $L = \frac{4}{\sqrt{13}}$ लंबाई की जीवा काटता है। केंद्र $(\alpha, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d$ है:$d = \left| \frac{3\alpha - 2(0) + 1}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} \right| = \frac{3\alpha + 1}{\sqrt{13}}$संबंध $r^2 = d^2 + (L/2)^2$ का उपयोग करने पर:$r^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2}{13} + \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right)^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13} \quad \dots(2)$$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:$\frac{(\alpha + 1)^2}{2} = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13}$$13(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 2(9\alpha^2 + 6\alpha + 1 + 4)$$13\alpha^2 + 26\alpha + 13 = 18\alpha^2 + 12\alpha + 10$$5\alpha^2 - 14\alpha - 3 = 0$$(5\alpha + 1)(\alpha - 3) = 0$चूँकि $\alpha > 0$,इसलिए $\alpha = 3$ है। तब $r^2 = \frac{(3 + 1)^2}{2} = 8$,अतः $r = 2\sqrt{2}$ है।अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभि $(\alpha, 0) = (3, 0)$ है,इसलिए $ae = 3$ है। अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 2r = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए $a = 2\sqrt{2}$ और $a^2 = 8$ है।चूँकि $a^2e^2 = 9$ है,इसलिए $8e^2 = 9$,जिससे $e^2 = \frac{9}{8}$ प्राप्त होता है।$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 8(\frac{9}{8} - 1) = 8(\frac{1}{8}) = 1$ है।इस प्रकार,$2a^2 + 3b^2 = 2(8) + 3(1) = 16 + 3 = 19$ है।

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यदि $e$ और $e^{\prime}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $5x^2 + 9y^2 = 45$ और अतिपरवलय $5x^2 - 4y^2 = 45$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $ee^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $m$ वक्रों $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ और $x^{2}+y^{2}=12$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की ढाल है,तो $12\; m^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्रों $y^{2}=4ax$ और $x^{2}=4by$ के प्रतिच्छेदन का कोण ज्ञात कीजिए।

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