मान लीजिए कि सम्मिश्र संख्याएँ alpha और left( | vedclass

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Question

(C) चूँकि बिंदु $\alpha$ वृत्त $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2$ पर स्थित है,इसलिए $|\alpha-z_0|^2=r^2$,जहाँ $z_0=x_0+iy_0$ है।इसका विस्

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$\frac{1}{\sqrt{7}}$

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(C) चूँकि बिंदु $\alpha$ वृत्त $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2$ पर स्थित है,इसलिए $|\alpha-z_0|^2=r^2$,जहाँ $z_0=x_0+iy_0$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\alpha|^2+|z_0|^2-(\alpha\bar{z}_0+\bar{\alpha}z_0)=r^2 \quad \ldots (i)$चूँकि $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ वृत्त $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=4r^2$ पर स्थित है,इसलिए $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=4r^2$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{|\alpha|^2}+|z_0|^2-(\frac{\alpha\bar{z}_0}{|\alpha|^2}+\frac{\bar{\alpha}z_0}{|\alpha|^2})=4r^2$।$|\alpha|^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $1+|z_0|^2|\alpha|^2-(\alpha\bar{z}_0+\bar{\alpha}z_0)=4r^2|\alpha|^2 \quad \ldots (ii)$$(i)$ को $(ii)$ से घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $(|\alpha|^2-1)|z_0|^2 - (|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$।$(|\alpha|^2-1)(|z_0|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$।दिया गया है कि $2|z_0|^2=r^2+2$,इसलिए $|z_0|^2-1 = \frac{r^2}{2}$ है।यह मान रखने पर,$(|\alpha|^2-1)\frac{r^2}{2} = r^2(4|\alpha|^2-1)$।$r^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{|\alpha|^2-1}{2} = 4|\alpha|^2-1$।$|\alpha|^2-1 = 8|\alpha|^2-2$।$7|\alpha|^2=1 \Rightarrow |\alpha|=\frac{1}{\sqrt{7}}$।

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