मान लीजिए कि दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूर | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $5$ है। बिंदु $P$ एक रेखा से $1$ की दूरी पर और दूसरी रेखा से $4$ की दूरी पर है।मान लीजिए $	heta$ वह क

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$28$

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(C) मान लीजिए कि समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $5$ है। बिंदु $P$ एक रेखा से $1$ की दूरी पर और दूसरी रेखा से $4$ की दूरी पर है।मान लीजिए $	heta$ वह कोण है जो $PR$ उस रेखा के साथ बनाता है जो $P$ से $4$ की दूरी पर है।त्रिभुज की ज्यामिति से,$PR = \frac{4}{\sin 	heta} = 4 \operatorname{cosec} 	heta$.इसी प्रकार,$PQ = \frac{1}{\sin(90^{\circ} - (	heta + 30^{\circ}))} = \frac{1}{\cos(	heta + 30^{\circ})}$.चूंकि $	riangle PQR$ समबाहु है,$PR = PQ = d$.अतः,$4 \operatorname{cosec} 	heta = \frac{1}{\cos(	heta + 30^{\circ})}$.$4 \cos(	heta + 30^{\circ}) = \sin 	heta$.$4(\cos 	heta \cos 30^{\circ} - \sin 	heta \sin 30^{\circ}) = \sin 	heta$.$4(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 	heta - \frac{1}{2} \sin 	heta) = \sin 	heta$.$2\sqrt{3} \cos 	heta - 2 \sin 	heta = \sin 	heta$.$2\sqrt{3} \cos 	heta = 3 \sin 	heta \Rightarrow 	an 	heta = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.तब $\sin^2 	heta = \frac{	an^2 	heta}{1 + 	an^2 	heta} = \frac{4/3}{1 + 4/3} = \frac{4/3}{7/3} = \frac{4}{7}$.$d^2 = PR^2 = (4 \operatorname{cosec} 	heta)^2 = 16 \operatorname{cosec}^2 	heta = 16 	imes \frac{1}{\sin^2 	heta} = 16 	imes \frac{7}{4} = 28$.

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