ધારો કે પરવલય y^2=4x ની નાભિ જીવા PQ એ ધન x-અ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) પરવલય $y^2=4x$ છે,તેથી તેની નાભિ $S$ એ $(1, 0)$ છે.ધારો કે $P$ એ $(t^2, 2t)$ છે. નાભિ જીવા $PS$ નો ઢાળ $\frac{2t-0}{t^2-1} = 	an 60^{\circ} = \sq

Vedclass · Accepted Answer

$15$

Vedclass · Answer

(A) પરવલય $y^2=4x$ છે,તેથી તેની નાભિ $S$ એ $(1, 0)$ છે.ધારો કે $P$ એ $(t^2, 2t)$ છે. નાભિ જીવા $PS$ નો ઢાળ $\frac{2t-0}{t^2-1} = 	an 60^{\circ} = \sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.$2t = \sqrt{3}(t^2-1) \Rightarrow \sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$.$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$ મળે છે.$P$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$t > 0$,તેથી $t = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.આમ,$P = ((\sqrt{3})^2, 2\sqrt{3}) = (3, 2\sqrt{3})$.વ્યાસ $PS$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે,જ્યાં $P=(3, 2\sqrt{3})$ અને $S=(1, 0)$.$(x-3)(x-1) + (y-2\sqrt{3})(y-0) = 0$.$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, \alpha)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી $x=0$ લેતા:$3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.આ $y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,તેથી $y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 0 \Rightarrow (y-\sqrt{3})^2 = 0$.આમ,$\alpha = \sqrt{3}$.તેથી $5\alpha^2 = 5(\sqrt{3})^2 = 5 	imes 3 = 15$.

Similar Questions

બિંદુ $(-1, 2)$ માંથી પરવલય $y^2 = 4x$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. આ સ્પર્શકો દ્વારા રેખા $x = 2$ પર બનતા અંતઃખંડની લંબાઈ કેટલી છે?

રેખા $x - y + 2 = 0$ એ પરવલય $y^2 = 8x$ ને કયા બિંદુએ સ્પર્શે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module