ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a>b)$ ની નાભિલંબની લંબાઈ $30$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા વિધેય $f(t)=-\frac{3}{4}+2t-t^{2}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય હોય, તો $(a^{2}+b^{2})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ તેની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ જેટલી છે. જો તેના ડાયરેક્ટર વર્તુળની ત્રિજ્યા $\sqrt{3}$ હોય અને $e$ તેની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો તેના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ કેટલી થાય?

જો બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(\sqrt{7}, 0)$ અને $(-\sqrt{7}, 0)$ હોય અને $P$ એ શંકુચ્છેદ $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ પરનું કોઈ બિંદુ હોય,તો $PA + PB$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો કોઈપણ સ્પર્શક અક્ષો પર $h$ અને $k$ લંબાઈનો અંત:ખંડ કાપે,તો:

ઉપવલયો $E_{k}: kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k = 1, 2, \ldots, 20$. ધારો કે $C_{k}$ એ વર્તુળ છે જે ઉપવલય $E_{k}$ ના અંતિમ બિંદુઓને (એક ગૌણ અક્ષ પર અને બીજું મુખ્ય અક્ષ પર) જોડતી ચાર જીવાઓને સ્પર્શે છે. જો $r_{k}$ એ વર્તુળ $C_{k}$ ની ત્રિજ્યા હોય,તો $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}}$ નું મૂલ્ય $.......$ છે.

એક રેખા જેનો $y$-અંતઃખંડ $5$ છે અને જે ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 144$ સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે છે,તેનો શક્ય સૌથી નાનો ધન ઢાળ કેટલો છે?