ધારો કે રેખા $\ell: x = \frac{1-y}{-2} = \frac{z-3}{\lambda}, \lambda \in R$ એ સમતલ $P: x + 2y + 3z = 4$ ને બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માં મળે છે. જો રેખા $\ell$ અને સમતલ $P$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$ હોય,તો $\alpha + 2\beta + 6\gamma$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુ $-\hat{i} - 5\hat{j} - 10\hat{k}$ નું રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12}$ અને સમતલ $x - y + z = 5$ ના છેદબિંદુથી અંતર શોધો.

રેખા $x + 2y + 3z - 5 = 0 = 3x + 2y + z - 5$ ને સમાવતા અને રેખા $x - 1 = 2 - y = z - 3$ ને સમાંતર હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $l$ એ રેખાઓ $l_{1}: \overrightarrow{r}=(3+t)\hat{i}+(-1+2t)\hat{j}+(4+2t)\hat{k}$ અને $l_{2}: \overrightarrow{r}=(3+2s)\hat{i}+(3+2s)\hat{j}+(2+s)\hat{k}$ ને લંબ છે. જો $l$ અને $l_{1}$ ના છેદબિંદુથી $\sqrt{17}$ અંતરે $l_{2}$ પર આવેલા પ્રથમ અષ્ટમાંશના બિંદુના યામ $(a, b, c)$ હોય,તો $18(a+b+c)$ ની કિંમત ........ છે.

સમતલો $x+y+z=1$ અને $2x+3y-z+4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $x$-અક્ષને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.

સમતલો $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=6$ અને $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=-5$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને બિંદુ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ શોધો.