ધારો કે રેખા $L: \sqrt{2}x + y = \alpha$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 3$ અને પરવલય $x^2 = 2y$ ના છેદબિંદુ $P$ (પ્રથમ ચરણમાં) માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે રેખા $L$ એ $2\sqrt{3}$ સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ને સ્પર્શે છે. જો વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો $Q_1$ અને $Q_2$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલા હોય,તો ત્રિકોણ $PQ_1Q_2$ ના ક્ષેત્રફળનો વર્ગ કેટલો થાય?

વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = 4$ એ બિંદુઓ $A(1, 0)$ અને $B(3, 4)$ ને જોડતી રેખાને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. જો $\frac{BP}{PA} = \alpha$ અને $\frac{BQ}{QA} = \beta$ હોય,તો $\alpha$ અને $\beta$ એ કયા દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે?

વર્તુળ $x^2+y^2=4$ પર બિંદુ $P(\sqrt{3}, 1)$ આગળ સ્પર્શક $PT$ દોરવામાં આવ્યો છે. એક સીધી રેખા $L$,જે $PT$ ને લંબ છે,તે વર્તુળ $(x-3)^2+y^2=1$ નો સ્પર્શક છે.
$1.$ બે વર્તુળોનો સામાન્ય સ્પર્શક છે:
$(A)$ $x=4$ $(B)$ $y=2$ $(C)$ $x+\sqrt{3} y=4$ $(D)$ $x+2 \sqrt{2} y=6$
$2.$ $L$ નું એક શક્ય સમીકરણ છે:
$(A)$ $x-\sqrt{3} y=1$ $(B)$ $x+\sqrt{3} y=1$ $(C)$ $x-\sqrt{3} y=-1$ $(D)$ $x+\sqrt{3} y=5$

જો બિંદુ $(h, k)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2=16$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ,તે જ બિંદુમાંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ કરતાં બમણી હોય,તો:

એક પરવલય $y = ax^2 + bx + c$,$x$-અક્ષને $(\alpha, 0)$ અને $(\beta, 0)$ બિંદુઓમાં છેદે છે,જે બંને ઉગમબિંદુની જમણી બાજુએ છે. એક વર્તુળ પણ આ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ઉગમબિંદુથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ કેટલી થાય?

ઉગમબિંદુમાંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20 = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ મેળવો.