मान लीजिए कि बिंदुओं P(2, -1, 2) और Q(5, 3, 4 | vedclass

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Question

(D) बिंदुओं $P(2, -1, 2)$ और $Q(5, 3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{2} = \lambda$ है। इस रेखा पर

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$3$

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(D) बिंदुओं $P(2, -1, 2)$ और $Q(5, 3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{2} = \lambda$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $R(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 2\lambda + 2)$ है। चूंकि $R$ समतल $x - y + z = 4$ पर स्थित है,इसलिए $(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (2\lambda + 2) = 4$। $\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda + 5 = 4 \implies \lambda = -1$। अतः,$R = (-1, -5, 0)$। हमें बिंदु $R(-1, -5, 0)$ की समतल $x + 2y + 3z + 2 = 0$ से रेखा $\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{1}$ के समानांतर दूरी ज्ञात करनी है। $R$ से गुजरने वाली और दी गई रेखा के समानांतर रेखा $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z - 0}{1} = k$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $T(2k - 1, 2k - 5, k)$ है। चूंकि $T$ समतल $x + 2y + 3z + 2 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $(2k - 1) + 2(2k - 5) + 3(k) + 2 = 0$। $2k - 1 + 4k - 10 + 3k + 2 = 0 \implies 9k - 9 = 0 \implies k = 1$। अतः,$T = (1, -3, 1)$। दूरी $RT = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-3 - (-5))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$।

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मान लीजिए कि रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z + 2}{2}$ समतल $x + 3y - \alpha z + \beta = 0$ में स्थित है। तो $(\alpha, \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

समतलों $x+y+z=1$ और $2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और $x$-अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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