मान लीजिए कि परवलय y^{2}=4x के मूल बिंदु O से | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए परवलय $y^2=4x$ है। परवलय पर कोई भी बिंदु $P(t^2, 2t)$ है।जीवा मूल बिंदु $O(0,0)$ और $P(t^2, 2t)$ से गुजरती है।जीवा $OP$ का मध्य-बिंदु $M

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$2y^2=3x$

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(B) मान लीजिए परवलय $y^2=4x$ है। परवलय पर कोई भी बिंदु $P(t^2, 2t)$ है।जीवा मूल बिंदु $O(0,0)$ और $P(t^2, 2t)$ से गुजरती है।जीवा $OP$ का मध्य-बिंदु $M(h, k)$, $h = \frac{t^2+0}{2} = \frac{t^2}{2}$ और $k = \frac{2t+0}{2} = t$ द्वारा दिया जाता है।$t=k$ को $h = \frac{t^2}{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $h = \frac{k^2}{2}$ मिलता है, इसलिए $k^2=2h$।बिंदु पथ $S$, $y^2=2x$ है।मान लीजिए $P(x_0, y_0)$, $S$ पर एक बिंदु है, इसलिए $y_0^2=2x_0$। चूंकि $P$, $S$ पर है, हम $P$ को $(2t^2, 2t)$ के रूप में लिख सकते हैं क्योंकि $(2t)^2 = 2(2t^2)$।मान लीजिए $R(x, y)$ वह बिंदु है जो $OP$ को $3:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:$x = \frac{3(2t^2) + 1(0)}{3+1} = \frac{6t^2}{4} = \frac{3t^2}{2}$$y = \frac{3(2t) + 1(0)}{3+1} = \frac{6t}{4} = \frac{3t}{2}$$y = \frac{3t}{2}$ से, हमें $t = \frac{2y}{3}$ मिलता है।$t$ का मान $x = \frac{3t^2}{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:$x = \frac{3}{2} \left(\frac{2y}{3}\right)^2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4y^2}{9} = \frac{2y^2}{3}$इस प्रकार, $3x = 2y^2$, या $2y^2=3x$।

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