ધારો કે સમતલ $ax+by+cz+d=0$ એ બિંદુઓ $P(4,-3,1)$ અને $Q(2,3,-5)$ ને જોડતા રેખાખંડને કાટખૂણે દુભાગે છે. જો $a, b, c, d$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય,તો $(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $\overrightarrow{p} = 4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ એક બિંદુ હોય અને $\overrightarrow{q} = 9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$ એક સદિશ હોય,તો $\overrightarrow{p}$ માંથી પસાર થતા અને $\overrightarrow{q}$ ને લંબ સમતલનું ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર શોધો.

બિંદુઓ $(2, 3, 1)$ અને $(4, -5, 3)$ માંથી પસાર થતા અને $X$-અક્ષને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.

એક સમતલ $(2,1,2)$ અને $(1,2,1)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $2x = 3y$ અને $z = 1$ ને સમાંતર છે. તો આ સમતલ નીચેનામાંથી કયા બિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે?

એક સમતલ $\pi_1$ જે બિંદુ $3 \hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ ને લંબ છે, અને બીજું સમતલ $\pi_2$ જે બિંદુ $2 \hat{i}+7 \hat{j}-8 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ ને લંબ છે. જો $p_1$ અને $p_2$ એ ઉગમબિંદુથી સમતલો $\pi_1$ અને $\pi_2$ ના લંબ અંતરો હોય, તો $p_1-p_2=$

બે સમાંતર સમતલો $ax+by+cz+d_1=0$ અને $ax+by+cz+d_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો સમતલ $2x-y+2z+3=0$ એ સમતલો $4x-2y+4z+\lambda=0$ અને $2x-y+2z+\mu=0$ થી અનુક્રમે $\frac{1}{3}$ અને $\frac{2}{3}$ એકમ અંતરે હોય,તો $\lambda+\mu$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.