ધારો કે બિંદુ $A$ એ બિંદુઓ $P(-1, -1, 2)$ અને $Q(5, 5, 10)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $r : 1$ $(r > 0)$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. જો $O$ ઉગમબિંદુ હોય અને $(\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA}) - \frac{1}{5}|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}|^2 = 10$ હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.

જો $a$ અને $b$ ના માનાંક સમાન હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ$ હોય અને $a \cdot b = -8$ હોય,તો $|a|$ ની કિંમત શોધો.

જો $\overline{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overline{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ બે સદિશો હોય,તો સદિશો $3 \bar{a}+5 \bar{b}$ અને $5 \bar{a}+3 \bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ બે એકમ સદિશો છે જેથી $|(\hat{a}+\hat{b})+2(\hat{a} \times \hat{b})|=2$ થાય. જો $\theta \in(0, \pi)$ એ $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો નીચેના વિધાનોમાંથી:
$(S_{1})$: $2|\hat{a} \times \hat{b}|=|\hat{a}-\hat{b}|$
$(S_{2})$: $(\hat{a}+\hat{b})$ પર $\hat{a}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{1}{2}$ છે.

જો સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ ન હોય,અને $\vec{c}$ તથા $\vec{d}$ એવા બે સદિશો હોય કે જે $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{d}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$ નું સમાધાન કરે,તો સદિશ $\vec{d} = ....$

જો $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}$ અને $5 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ હોય, તો $\overrightarrow{PQ}$ અને $z$-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન (cosine) શોધો.