माना कि एक चतुष्फलक $ABCD$ के शीर्षों $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ और $2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं। शीर्ष $D$ से सम्मुख फलक $ABC$ पर डाला गया लंब,त्रिभुज $ABC$ की $A$ से गुजरने वाली माध्यिका को बिंदु $E$ पर मिलता है। यदि $AD$ की लंबाई $\frac{\sqrt{110}}{3}$ है और चतुष्फलक का आयतन $\frac{\sqrt{805}}{6\sqrt{2}}$ है,तो $E$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

यदि सदिशों $\vec{a} = (2, \log_3 x, a)$ और $\vec{b} = (-3, a \log_3 x, \log_3 x)$ के बीच का कोण न्यूनकोण है,तो...

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन शून्येतर,असमतलीय सदिश हैं और $\vec{b_1} = \vec{b} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$,$\vec{b_2} = \vec{b} + \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$,और $\vec{c_1} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} + \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b_1}$,$\vec{c_2} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_1}}{|\vec{b_1}|^2}\vec{b_1}$,$\vec{c_3} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{c}|^2}\vec{a} + \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_2}}{|\vec{c}|^2}\vec{b_1}$,$\vec{c_4} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{c}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}|^2}\vec{b_1}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा परस्पर लंबवत सदिशों का एक समूह है?

एक $\triangle ABC$ पर विचार करें जहाँ $A(1,3,2)$,$B(-2,8,0)$ और $C(3,6,7)$ हैं। यदि $\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक रेखा $BC$ से $D$ पर मिलता है,तो सदिश $\overrightarrow{AD}$ का सदिश $\overrightarrow{AC}$ पर प्रक्षेप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

$x$ का वह मान जिसके लिए सदिशों $\vec{a} = x\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 2x\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}$ के बीच का कोण न्यूनकोण है,और सदिश $\vec{b}$ तथा $y$-अक्ष (कोटि अक्ष) के बीच का कोण अधिककोण है,है:

मान लीजिए $ABC$ एक त्रिभुज है जैसे कि $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c}$,$|\overrightarrow{a}| = 6\sqrt{2}$,$|\overrightarrow{b}| = 2\sqrt{3}$,और $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 12$. कथनों पर विचार करें:
$(S1): |(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b})| - |\overrightarrow{c}| = 6(2\sqrt{2} - 1)$
$(S2): \angle ABC = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$.
निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?