मान लीजिए कि एक वक्र y=f(x) के बिंदु (x, y) प | vedclass

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Question

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2 	an x(\cos x - y)$ है।इसे रैखिक अवकल समीकरण के रूप में लिखने पर: $\frac{dy}{dx} + (2 	an x)y = 2 \sin x$.स

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$2-\frac{\pi}{\sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2 	an x(\cos x - y)$ है।इसे रैखिक अवकल समीकरण के रूप में लिखने पर: $\frac{dy}{dx} + (2 	an x)y = 2 \sin x$.समाकलन गुणक $IF = e^{\int 2 	an x \, dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है।दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y \sec^2 x) = 2 \sin x \sec^2 x = 2 \sec x 	an x$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \sec^2 x = 2 \sec x + C$,जिसे सरल करने पर $y = 2 \cos x + C \cos^2 x$ प्राप्त होता है।चूंकि वक्र बिंदु $(\frac{\pi}{4}, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 = 2 \cos(\frac{\pi}{4}) + C \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + C(\frac{1}{2}) = \sqrt{2} + \frac{C}{2}$.अतः,$C = -2\sqrt{2}$,और वक्र का समीकरण $y = 2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x$ है।अब,$\int_{0}^{\pi / 2} y \, dx = \int_{0}^{\pi / 2} (2 \cos x - 2\sqrt{2} \cos^2 x) \, dx$.$= [2 \sin x]_{0}^{\pi / 2} - 2\sqrt{2} \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx$.$= 2(1 - 0) - \sqrt{2} [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi / 2} = 2 - \sqrt{2}(\frac{\pi}{2}) = 2 - \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.

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