ધારો કે વિકલ સમીકરણ (1+e^{2x})(frac{dy}{dx}+y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+e^{2x})(\frac{dy}{dx}+y)=1$ છે,જેને $\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{1+e^{2x}}$ તરીકે લખી શકાય.આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ સ્વરૂપનું સુરે

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+e^{2x})(\frac{dy}{dx}+y)=1$ છે,જેને $\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{1+e^{2x}}$ તરીકે લખી શકાય.આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=1$ અને $Q=\frac{1}{1+e^{2x}}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot e^x = \int Q \cdot I.F. dx + c = \int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx + c$ છે.ધારો કે $u=e^x$,તો $du=e^x dx$. સંકલન $\int \frac{1}{1+u^2} du = 	an^{-1}(u) = 	an^{-1}(e^x)$ થાય છે.તેથી,$y \cdot e^x = 	an^{-1}(e^x) + c$.વક્ર બિંદુ $(0, \frac{\pi}{2})$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{\pi}{2} \cdot e^0 = 	an^{-1}(e^0) + c$,જે આપણને $\frac{\pi}{2} = 	an^{-1}(1) + c = \frac{\pi}{4} + c$ આપે છે.આમ,$c = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.ઉકેલ $y \cdot e^x = 	an^{-1}(e^x) + \frac{\pi}{4}$ છે.જ્યારે $x ightarrow \infty$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા,$\lim_{x ightarrow \infty} (y \cdot e^x) = \lim_{x ightarrow \infty} (	an^{-1}(e^x) + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $(1+e^{2x})(\frac{dy}{dx}+y)=1$ નો ઉકેલ વક્ર $y=y(x)$ એ બિંદુ $(0, \frac{\pi}{2})$ માંથી પસાર થાય છે. તો,$\lim_{x \rightarrow \infty} e^{x} y(x)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\cos x \frac{dy}{dx} + y \sin x = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$ $(x \neq 0)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ નો ઉકેલ શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module