मान लीजिए कि बिंदुओं (1, 1) और (frac{1}{10}, | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $P(x, y)$ पर स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को $A(\alpha, 0)$ और $y$-अक्ष को $B(0, \beta)$ पर काटती है।स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(

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$4$

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(A) मान लीजिए $P(x, y)$ पर स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को $A(\alpha, 0)$ और $y$-अक्ष को $B(0, \beta)$ पर काटती है।स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।$A$ के लिए,$Y = 0 \implies -y = \frac{dy}{dx}(\alpha - x) \implies \alpha = x - y \frac{dx}{dy}$.$B$ के लिए,$X = 0 \implies Y - y = \frac{dy}{dx}(-x) \implies Y = y - x \frac{dy}{dx}$.दिया है $PA: PB = 1: k$,विभाजन सूत्र के अनुसार,$x = \frac{k \cdot \alpha + 1 \cdot 0}{k + 1} = \frac{k \alpha}{k + 1} \implies \alpha = \frac{k + 1}{k} x$.$\alpha$ का मान रखने पर: $\frac{k + 1}{k} x = x - y \frac{dx}{dy} \implies \frac{x}{k} = -y \frac{dx}{dy} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{ky}{x}$.समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = -k \int \frac{dx}{x} \implies \ln y = -k \ln x + C \implies y x^k = C$.$(1, 1)$ से गुजरने पर $C = 1$. $(\frac{1}{10}, 100)$ से गुजरने पर $100 \cdot (\frac{1}{10})^k = 1 \implies 10^2 \cdot 10^{-k} = 10^0 \implies 2 - k = 0 \implies k = 2$.अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = 2x + 1 \implies \frac{dy}{dx} = \ln(2x + 1)$ है।समाकलन करने पर: $y = \int \ln(2x + 1) dx = \frac{1}{2} (2x + 1) \ln(2x + 1) - x + C$.$y(0) = 2$ का उपयोग करने पर: $2 = \frac{1}{2}(1)(0) - 0 + C \implies C = 2$.अतः,$y(x) = \frac{2x + 1}{2} \ln(2x + 1) - x + 2$.$y(1) = \frac{3}{2} \ln 3 - 1 + 2 = \frac{3}{2} \ln 3 + 1$.$4y(1) - 5 \ln 3 = 4(\frac{3}{2} \ln 3 + 1) - 5 \ln 3 = 6 \ln 3 + 4 - 5 \ln 3 = \ln 3 + 4$.

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

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