વિસ્તરણ (1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિસ્તરણ: $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$.પગલું $1$: $x=1$ મૂકતા:$(1+1+1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n}

Vedclass · Accepted Answer

$(d) A-III, B-IV, C-II$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિસ્તરણ: $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$.પગલું $1$: $x=1$ મૂકતા:$(1+1+1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \implies 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2n} \quad (i)$પગલું $2$: $x=-1$ મૂકતા:$(1-1+1)^n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \implies 1 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \ldots + a_{2n} \quad (ii)$પગલું $3$: $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:$3^n + 1 = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \ldots) \implies a_0 + a_2 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n + 1)$. તેથી,$A \rightarrow III$.પગલું $4$: $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:$3^n - 1 = 2(a_1 + a_3 + a_5 + \ldots) \implies a_1 + a_3 + \ldots = \frac{1}{2}(3^n - 1)$. તેથી,$B \rightarrow IV$.પગલું $5$: વિસ્તરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$n(1+x+x^2)^{n-1}(1+2x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots + 2n a_{2n} x^{2n-1}$.$x=1$ મૂકતા:$n(3)^{n-1}(3) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n} \implies n \cdot 3^n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$. તેથી,$C \rightarrow II$.આમ,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II$ છે.

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(A)$ $a_0 + a_2 + \ldots + a_{2n}$	$(I)$ $n \cdot 3^{n-1}$
$(B)$ $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2n-1}$	$(II)$ $n \cdot 3^n$
$(C)$ $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$	$(III)$ $\frac{1}{2}(3^n + 1)$
	$(IV)$ $\frac{1}{2}(3^n - 1)$

Similar Questions

$\sum \limits_{k=0}^{6} {}^{51-k}C_{3}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha = \sum_{k=0}^n \left( \frac{({ }^n C_k)^2}{k+1} \right)$ અને $\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{{ }^n C_k \cdot { }^n C_{k+1}}{k+2} \right)$. જો $5 \alpha = 6 \beta$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો:

જો $^nC_r = C_r$ અને $2 \frac{C_1}{C_0} + 4 \frac{C_2}{C_1} + 6 \frac{C_3}{C_2} + \dots + 2n \frac{C_n}{C_{n-1}} = 650$ હોય,તો $^nC_2 =$

ધારો કે $m, n \in \mathbb{N}$ અને $\operatorname{gcd}(2, n)=1$. જો $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ હોય,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો. (અહીં $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module