List-$I$ में दिए गए फलनों को List-$II$ में उनके संबंधित लक्षणों के साथ सुमेलित कीजिए।

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $\sinh x$	$(I)$ प्रांत $(-1, 1)$ है, सम फलन
$(B)$ $\text{sech } x$	$(II)$ प्रांत $[1, \infty)$ है, न तो सम न ही विषम फलन
$(C)$ $\tanh x$	$(III)$ सम फलन
$(D)$ $\text{cosech}^{-1} x$	$(IV)$ परिसर $\mathbb{R}$ है, विषम फलन
	$(V)$ परिसर $(-1, 1)$ है, विषम फलन

सही उत्तर है

$ A $ एक समुच्चय है जिसमें $ 6 $ भिन्न अवयव हैं। $ A $ से $ A $ तक के उन भिन्न फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए जो आच्छादक (bijection) नहीं हैं।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e}$ द्वारा परिभाषित है। तो $f\left(\frac{1}{100}\right) + f\left(\frac{2}{100}\right) + f\left(\frac{3}{100}\right) + \dots + f\left(\frac{99}{100}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अनुच्छेद में दी गई जानकारी के आधार पर सूचियों का उचित मिलान करके निम्नलिखित का उत्तर दें।
मान लीजिए $f(x) = \sin(\pi \cos x)$ और $g(x) = \cos(2\pi \sin x)$ दो फलन हैं जो $x > 0$ के लिए परिभाषित हैं। निम्नलिखित समुच्चयों को परिभाषित करें जिनके अवयव बढ़ते क्रम में लिखे गए हैं:
$X = \{x : f(x) = 0\}, Y = \{x : f'(x) = 0\}$
$Z = \{x : g(x) = 0\}, W = \{x : g'(x) = 0\}$
$List-I$ में समुच्चय $X, Y, Z$ और $W$ हैं। $List-II$ में इन समुच्चयों के संबंध में कुछ जानकारी है।

$List-I$	$List-II$
$(I) X$	$(P) \supseteq \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 4\pi, 7\pi\}$
$(II) Y$	$(Q) \text{ एक समांतर श्रेणी}$
$(III) Z$	$(R) \text{ समांतर श्रेणी नहीं}$
$(IV) W$	$(S) \supseteq \{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\}$
	$(T) \supseteq \{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\}$
	$(U) \supseteq \{\frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4}\}$

$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा एकमात्र $CORRECT$ संयोजन है?
$(1) (II), (R), (S)$ $(2) (I), (P), (R)$ $(3) (II), (Q), (T)$ $(4) (I), (Q), (U)$
$(2)$ निम्नलिखित में से कौन सा एकमात्र $CORRECT$ संयोजन है?
$(1) (IV), (Q), (T)$ $(2) (IV), (P), (R), (S)$ $(3) (III), (R), (U)$ $(4) (III), (P), (Q), (U)$

यदि $f(x) = \cos(\log x)$ है,तो $f(x) \cdot f(y) - \frac{1}{2} \left( f\left(\frac{x}{y}\right) + f(xy) \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण $2{e^{\left| x \right|}}{\tan ^{ - 1}}\left| x \right| = 1$ के हलों की संख्या है