एक पतली एकसमान छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ है। यदि उसी छड़ को मोड़कर एक वलय (रिंग) बना दिया जाए और उसके व्यास के परितः उसका जड़त्व आघूर्ण $I^{\prime}$ हो,तो अनुपात $\frac{I}{I^{\prime}}$ क्या होगा?

$m$ द्रव्यमान के एक कण का स्थिति सदिश $\vec{r}$ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया गया है:
$\vec{r}(t) = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^2 \hat{j}$
जहाँ $\alpha = 10/3 \ m \ s^{-3}$,$\beta = 5 \ m \ s^{-2}$ और $m = 0.1 \ kg$ है। $t = 1 \ s$ पर,कण के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ वेग $\vec{v} = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m \ s^{-1}$ है।
$(B)$ मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग $\vec{L} = -(5/3) \hat{k} \ N \ m \ s$ है।
$(C)$ बल $\vec{F} = (2 \hat{i} + 1 \hat{j}) \ N$ है।
$(D)$ मूल बिंदु के सापेक्ष बल आघूर्ण $\vec{\tau} = -(20/3) \hat{k} \ N \ m$ है।

$m$ द्रव्यमान और $a$ भुजा वाला एक समान घन एक घर्षण रहित क्षैतिज सतह पर रखा गया है। चित्र में दिखाए अनुसार किनारे पर एक ऊर्ध्वाधर बल $F$ लगाया जाता है। निम्नलिखित का मिलान करें (सबसे उपयुक्त विकल्प):

$(a)$ $\frac{mg}{4} < F < \frac{mg}{2}$	$(i)$ घन ऊपर की ओर गति करेगा
$(b)$ $F > \frac{mg}{2}$	$(ii)$ घन कोई गति प्रदर्शित नहीं करेगा
$(c)$ $F > mg$	$(iii)$ घन $A$ के परितः घूमना शुरू कर देगा
$(d)$ $F = \frac{mg}{4}$	$(iv)$ अभिलंब प्रतिक्रिया प्रभावी रूप से $A$ से $a/3$ पर है,कोई गति नहीं

$M=0.2 \ kg$ द्रव्यमान का एक कण प्रारंभ में $xy$-समतल में बिंदु $(x=-l, y=-h)$ पर विरामावस्था में है,जहाँ $l=10 \ m$ और $h=1 \ m$ है। कण को $t=0$ समय पर धनात्मक $x$-दिशा में $a=10 \ m/s^2$ के निरंतर त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है। मूल बिंदु के सापेक्ष इसका कोणीय संवेग और बलाघूर्ण,$SI$ इकाइयों में,क्रमशः $\vec{L}$ और $\vec{\tau}$ द्वारा दर्शाए गए हैं। $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ क्रमशः धनात्मक $x, y$ और $z$-दिशाओं में इकाई सदिश हैं। यदि $\hat{k}=\hat{i} \times \hat{j}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
$(A)$ कण $t=2 \ s$ समय पर बिंदु $(x=l, y=-h)$ पर पहुँचता है।
$(B)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=2 \hat{k}$ होता है।
$(C)$ जब कण बिंदु $(x=l, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{L}=4 \hat{k}$ होता है।
$(D)$ जब कण बिंदु $(x=0, y=-h)$ से गुजरता है तो $\vec{\tau}=\hat{k}$ होता है।

$L$ लंबाई की एक छड़ जिसके एक सिरे पर $m$ द्रव्यमान का एक छोटा पिंड है, छड़ के मध्य बिंदु के परितः एक ऊर्ध्वाधर तल में $\omega$ की समान कोणीय गति से घूम रही है। घूर्णन के दौरान, किसी क्षण जब छड़ क्षैतिज होती है, तो पिंड छड़ से अलग हो जाता है लेकिन छड़ उसी $\omega$ के साथ घूमना जारी रखती है। पिंड ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर जाता है, वापस आता है और उसी बिंदु पर छड़ तक पहुँच जाता है। उस स्थान पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ है।

अवरोध की न्यूनतम ऊँचाई $h$ ज्ञात कीजिए ताकि $R$ त्रिज्या का गोला $\theta$ कोण वाले नत समतल पर संतुलन में रह सके।