એક પાતળા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. જો તે જ સળિયાને વાળીને એક રીંગ બનાવવામાં આવે અને તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I^{\prime}$ હોય,તો ગુણોત્તર $\frac{I}{I^{\prime}}$ કેટલો થાય?

મુક્ત અવકાશમાં ફરતો એક માણસ તેના શરીરનો આકાર બદલે છે,દા.ત.,તેના હાથ ફેલાવીને અથવા સંકોચાઈને. આમ કરીને,તે શું બદલી શકે છે?

એક રીંગ અને એક ડિસ્કનું દળ અને ત્રિજ્યા સમાન છે. રીંગની તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા અને ડિસ્કની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર કેટલો થાય ($: 1$ માં)?

$R$ ત્રિજ્યા અને $m$ દળનો એક પોલો ગોળો $m$ દળના પાણીથી સંપૂર્ણ ભરેલો છે. તે સમક્ષિતિજ સપાટી પર એવી રીતે ગબડે છે કે જેથી તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $v$ વેગથી ગતિ કરે છે. જો તે શુદ્ધ ગબડતી ગતિ કરતું હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

આકૃતિ $1$ માં દર્શાવ્યા મુજબ એક વ્યક્તિ પોતાની આંગળીના ટેરવા પાસે $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર રીંગને ફેરવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,આંગળી રીંગની અંદરની ધાર સાથેનો સંપર્ક ક્યારેય ગુમાવતી નથી. આંગળી શંકુની સપાટી બનાવે છે,જે તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે. રીંગ અને આંગળી જ્યાં સંપર્કમાં છે તે બિંદુ દ્વારા રચાયેલા પથની ત્રિજ્યા $r$ છે. આંગળી $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. ફરતી રીંગ એ નાના વર્તુળની બહારની બાજુએ સરક્યા વિના ગબડે છે જે રીંગ અને આંગળીના સંપર્ક બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (આકૃતિ $2$). રીંગ અને આંગળી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ છે.
$(1)$ રીંગની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય જેનાથી નીચે રીંગ નીચે પડી જશે તે છે:
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો:

એક નિસરણીને લીસી દીવાલ પર ટેકવવામાં આવે છે અને તેને ઘર્ષણરહિત ભોંયતળિયા પર સરકવા દેવામાં આવે છે. કઈ આકૃતિ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પથ દર્શાવે છે?