મુક્ત અવકાશમાં ફરતો એક માણસ તેના શરીરનો આકાર બદલે છે,દા.ત.,તેના હાથ ફેલાવીને અથવા સંકોચાઈને. આમ કરીને,તે શું બદલી શકે છે?

એક કણ $L$ કોણીય વેગમાન સાથે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. જ્યારે કોણીય આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ચાકગતિ ઉર્જા અડધી થઈ જાય છે. તેનું નવું કોણીય વેગમાન કેટલું હશે?

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,એક રીંગ $A$ શરૂઆતમાં પદાર્થ $B$ (જેનું દળ $A$ જેટલું જ છે) ની આડી સપાટી પર $v$ વેગથી સરક્યા વિના ગબડી રહી છે. બધી સપાટીઓ લીસી છે. $B$ નો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય છે. $B$ પર $A$ દ્વારા પ્રાપ્ત કરવામાં આવતી મહત્તમ ઊંચાઈ કેટલી હશે?

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક રીંગ $u$ જેટલા અચળ વેગથી સરક્યા વિના ગબડે છે. રીંગના કોઈપણ કણ દ્વારા તેના પથના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ અનુસરવામાં આવતા પથની વક્રતા ત્રિજ્યા કેટલી હશે?

આકૃતિ $1$ માં દર્શાવ્યા મુજબ એક વ્યક્તિ પોતાની આંગળીના ટેરવા પાસે $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર રીંગને ફેરવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,આંગળી રીંગની અંદરની ધાર સાથેનો સંપર્ક ક્યારેય ગુમાવતી નથી. આંગળી શંકુની સપાટી બનાવે છે,જે તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે. રીંગ અને આંગળી જ્યાં સંપર્કમાં છે તે બિંદુ દ્વારા રચાયેલા પથની ત્રિજ્યા $r$ છે. આંગળી $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. ફરતી રીંગ એ નાના વર્તુળની બહારની બાજુએ સરક્યા વિના ગબડે છે જે રીંગ અને આંગળીના સંપર્ક બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (આકૃતિ $2$). રીંગ અને આંગળી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ છે.
$(1)$ રીંગની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય જેનાથી નીચે રીંગ નીચે પડી જશે તે છે:
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો:

એક છેડેથી મિજાગરાવાળો સળિયો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ આડી સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. જ્યારે તે શિરોલંબ બને છે,ત્યારે તેનો નીચેનો અડધો ભાગ તૂટવાના બિંદુએ કોઈ પણ પ્રતિક્રિયા આપ્યા વિના અલગ થઈ જાય છે. તો મિજાગરાવાળા ઉપરના અડધા ભાગ દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનાવેલ મહત્તમ ખૂણો '$\theta$' ......... $^o$ છે.