x in [0, 4] के लिए फलन f(x) = sin({2^x + [2^x | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \sin(\{2^x + [2^x] + [3^{-x}]\})$.चूँकि $[2^x]$ और $[3^{-x}]$ पूर्णांक हैं,हम गुणधर्म $\{x + n\} = \{x\}$ का उपयोग करते हैं,जह

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$15$

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(C) दिया गया है $f(x) = \sin(\{2^x + [2^x] + [3^{-x}]\})$.चूँकि $[2^x]$ और $[3^{-x}]$ पूर्णांक हैं,हम गुणधर्म $\{x + n\} = \{x\}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।अतः,$f(x) = \sin(\{2^x + [2^x] + [3^{-x}]\}) = \sin(\{2^x + [3^{-x}]\}) = \sin(\{2^x\})$.फलन $f(x) = \sin(\{2^x\})$ वहाँ असांतत्य है जहाँ $2^x$ एक पूर्णांक है,क्योंकि भिन्नात्मक भाग फलन $\{u\}$ सभी पूर्णांकों $u$ पर असांतत्य होता है।$x \in [0, 4]$ के लिए,$2^x$ का मान $[2^0, 2^4] = [1, 16]$ अंतराल में होता है।अंतराल $[1, 16]$ में पूर्णांक $1, 2, 3, \dots, 16$ हैं।हालाँकि,$x=0$ पर,$2^x=1$ है,और $\{2^x\}$ का मान $0$ से $0$ की ओर जाता है (जैसे $x 	o 0^+$,$2^x 	o 1^+$,$\{2^x\} 	o 0$),इसलिए यह $x=0$ पर संतत है।$x > 0$ के लिए,$2^x = k$ (जहाँ $k \in \{2, 3, \dots, 16\}$),फलन $\{2^x\}$ में असांतत्य होता है।$k$ के ऐसे कुल $15$ मान हैं $(k=2, 3, \dots, 16)$।अतः,असांतत्य के बिंदुओं की संख्या $15$ है।

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यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{72^x-9^x-8^x+1}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}} & , x \neq 0 \\ a \ln 2 \ln 3 & , x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $a^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} kx + 1, & x \leq \frac{\pi}{2} \\ \sin x, & x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $k = $ . . . . . . .

यदि $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \frac{e^{2x} - (1 + 4x)^{1/2}}{\ln(1 - x^2)}$ है,तो $f$ के पास

यदि $f(x) = \begin{cases} 3 + x; & x \geqslant 0 \\ 2 - 3x; & x < 0 \end{cases}$ है,तो $\lim_{x \to 0} f(f(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{2 - \sqrt{x + 4}}{\sin 2x}, (x \neq 0),$ $x = 0$ पर एक सतत फलन है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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