यदि फलन f(x) = begin{cases} frac{72^x-9^x-8^x | vedclass

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Question

(B) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,अंश को सरल करने पर: $72^x - 9^x - 8^x + 1 = (9^x - 1)(8^

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$1152$

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(B) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x ightarrow 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,अंश को सरल करने पर: $72^x - 9^x - 8^x + 1 = (9^x - 1)(8^x - 1)$।हर को सरल करने पर: $\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{2} - \sqrt{2 \cos^2(x/2)} = \sqrt{2}(1 - |\cos(x/2)|)$।चूँकि $x ightarrow 0$,$\cos(x/2) > 0$,इसलिए $\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{2}(1 - \cos(x/2))$।सर्वसमिका $1 - \cos 	heta = 2 \sin^2(	heta/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{2}(2 \sin^2(x/4))$ प्राप्त होता है।अब,सीमा का मान ज्ञात करने पर:$\lim_{x ightarrow 0} \frac{(9^x - 1)(8^x - 1)}{\sqrt{2}(2 \sin^2(x/4))} = \lim_{x ightarrow 0} \frac{(9^x - 1)}{x} \cdot \frac{(8^x - 1)}{x} \cdot \frac{x^2}{2\sqrt{2} \sin^2(x/4)}$।$\lim_{x ightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ और $\lim_{x ightarrow 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k$ का उपयोग करने पर:$= \ln 9 \cdot \ln 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2} (1/4)^2} = (2 \ln 3)(3 \ln 2) \cdot \frac{16}{2\sqrt{2}} = 6 \ln 2 \ln 3 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \ln 2 \ln 3$।इसे $f(0) = a \ln 2 \ln 3$ के बराबर रखने पर,$a = 24\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$a^2 = (24\sqrt{2})^2 = 576 	imes 2 = 1152$।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{72^x-9^x-8^x+1}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}} & , x \neq 0 \\ a \ln 2 \ln 3 & , x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $a^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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