$3x^2 - 2x^3 = \log_2 (x^2 + 1) - \log_2 x$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

$x > 0$ માટે વિધેય $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$ ધરાવે છે:

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=(x-1)(x-2)(x-5)$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. $x>0$ માટે $F(x)=\int_0^x f(t) dt$ વ્યાખ્યાયિત કરો. તો નીચેનામાંથી કયા વિકલ્પો સાચા છે?
$(1)$ $F$ ને $x=1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે
$(2)$ $F$ ને $x=2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ છે
$(3)$ તમામ $x \in (0,5)$ માટે $F(x) \neq 0$
$(4)$ $F$ ને $(0, \infty)$ માં બે સ્થાનિક મહત્તમ અને એક સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે

$10 \ cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા આપેલા શંકુમાં અંતર્ગત મહત્તમ વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબવૃત્તીય નળાકારની ત્રિજ્યા ($cm$ માં) કેટલી હશે?

એક ગોળાની અંદર મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતો શંકુ અંતર્ગત છે. તો શંકુની ઊંચાઈ અને ગોળાના વ્યાસનો ગુણોત્તર શોધો.

જો $x = -1$ અને $x = 2$ એ $f(x) = \alpha \log |x| + \beta x^2 + x$ ના અંતિમ બિંદુઓ હોય,તો $(\alpha, \beta)$ શોધો.