$m \in N$ ની કેટલી કિંમતો માટે $y = e^{mx}$ એ વિકલ સમીકરણ $D^3y - 3D^2y - 4Dy + 12y = 0$ નો ઉકેલ છે?

ચકાસો કે વિધેય $y=c_{1} e^{a x} \cos b x+c_{2} e^{a x} \sin b x,$ જ્યાં $c_{1}, c_{2}$ સ્વૈર અચળાંકો છે,તે વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \frac{d y}{d x}+\left(a^{2}+b^{2}\right) y=0$ નો ઉકેલ છે.

જો વિધેય $y = e^{4x} + 2e^{-x}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{\frac{d^3y}{dx^3} - 13\frac{dy}{dx}}{y} = K$ નો ઉકેલ હોય,તો $K$ ની કિંમત શોધો.

જો એક પદાર્થ $30^{\circ} C$ ના ઓરડાના તાપમાને $30 \text{ min}$ માં $80^{\circ} C$ થી ઘટીને $60^{\circ} C$ થાય છે,તો એક કલાક પછી પદાર્થનું તાપમાન કેટલું હશે ($^{\circ} C$ માં)?

ખુલ્લી હવામાં એક ભીનો પદાર્થ તેના ભેજની માત્રાના પ્રમાણમાં ભેજ ગુમાવે છે. જો ખુલ્લી હવામાં લટકાવેલી એક શીટ,પ્રથમ કલાક દરમિયાન તેનો અડધો ભેજ ગુમાવે છે,તો $90 \%$ ભેજ ...... કલાકમાં ગુમાવશે.

ધારો કે એક વક્ર $y=f(x), x \in(0, \infty)$ બિંદુઓ $P\left(1, \frac{3}{2}\right)$ અને $Q\left(a, \frac{1}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે. જો આપેલ વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $R(b, f(b))$ આગળનો સ્પર્શક $y$-અક્ષને બિંદુ $S(0, c)$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $bc=3$ થાય,તો $(PQ)^2$ ની કિંમત $.........$ છે.