$m \in N$ के कितने मानों के लिए $y = e^{mx}$,अवकल समीकरण $D^3y - 3D^2y - 4Dy + 12y = 0$ का एक हल है?

किसी समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी तत्व के विघटन की दर उस समय उसके द्रव्यमान $M$ के समानुपाती होती है। यदि $k (k > 0)$ समानुपातिकता स्थिरांक है, तो $1.5 \text{ g}$ के प्रारंभिक द्रव्यमान को $0.5 \text{ g}$ द्रव्यमान में विघटित होने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$ वृत्तों के एक ऐसे परिवार को निर्धारित करता है जिसकी:

एक वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल,संपर्क बिंदु और $(-4, -3)$ बिंदु को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल की दोगुनी है। वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि यह $(-2, 1)$ से होकर गुजरता है।

यदि कोई वस्तु $25^{\circ} C$ के कमरे के तापमान पर $60 \text{ मिनट में}$ $135^{\circ} C$ से $80^{\circ} C$ तक ठंडी हो जाती है,तो $2 \text{ घंटे}$ बाद वस्तु का तापमान क्या होगा ($^{\circ} C$ में)?

रेडियम अपने उपस्थित मात्रा के समानुपाती दर पर विघटित होता है। यदि $1600$ वर्षों में मूल मात्रा का आधा भाग समाप्त हो जाता है,तो $100$ वर्षों में प्रतिशत हानि क्या होगी ($\%$ में)? (दिया गया है: $\log 2 = 0.6931$ और $e^{-0.0433} = 0.9576$)