रेडियम अपने उपस्थित मात्रा के समानुपाती दर पर विघटित होता है। यदि $1600$ वर्षों में मूल मात्रा का आधा भाग समाप्त हो जाता है,तो $100$ वर्षों में प्रतिशत हानि क्या होगी ($\%$ में)? (दिया गया है: $\log 2 = 0.6931$ और $e^{-0.0433} = 0.9576$)

एक गोलाकार मॉथबॉल की प्रारंभिक त्रिज्या $3 \text{ cm}$ है। वाष्पीकरण के कारण, $4 \text{ महीनों}$ में गेंद की त्रिज्या घटकर $1 \text{ cm}$ रह जाती है। यदि आयतन के घटने की दर पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है, तो मॉथबॉल कितने महीनों में पूरी तरह से वाष्पित हो जाएगी ($\text{ महीने}$ में)?

एक रेडियोधर्मी नमूने की अर्ध-आयु $10 \text{ दिन}$ है। यदि नमूने का मूल द्रव्यमान $1000 \text{ mg}$ है,तो $50 \text{ दिनों}$ के बाद शेष द्रव्यमान कितना होगा?

जनसंख्या की वृद्धि वर्तमान संख्या के समानुपाती है। यदि किसी कॉलोनी की जनसंख्या $50$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है,तो जनसंख्या . . . . . . वर्षों में तीन गुनी हो जाएगी।

यदि किसी वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $3x^2 + 2x + 5$ है और वक्र बिंदु $(0, 1)$ से होकर गुजरता है,तो वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

वक्रों के परिवार $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ के लंबकोणीय प्रक्षेप (orthogonal trajectories) ज्ञात कीजिए,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।