जनसंख्या की वृद्धि वर्तमान संख्या के समानुपात | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $P_{0}$ प्रारंभिक जनसंख्या है। दिया गया है कि वृद्धि की दर जनसंख्या के समानुपाती है: $\frac{dP}{dt} = \lambda P$. दोनों पक्षों का समाकलन

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$50\left(\frac{\log 3}{\log 2}ight) 	ext{ वर्ष}$

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $P_{0}$ प्रारंभिक जनसंख्या है। दिया गया है कि वृद्धि की दर जनसंख्या के समानुपाती है: $\frac{dP}{dt} = \lambda P$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dP}{P} = \int \lambda dt \Rightarrow \ln P = \lambda t + C$. $t = 0$ पर,$P = P_{0}$,इसलिए $C = \ln P_{0}$. अतः,$\ln P = \lambda t + \ln P_{0} \Rightarrow \ln \left(\frac{P}{P_{0}}ight) = \lambda t$. दिया गया है कि जनसंख्या $50$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है: $\ln \left(\frac{2P_{0}}{P_{0}}ight) = 50\lambda \Rightarrow \ln 2 = 50\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{\ln 2}{50}$. अब,हमें $t$ ज्ञात करना है जब जनसंख्या तीन गुनी $(P = 3P_{0})$ हो जाती है: $\ln \left(\frac{3P_{0}}{P_{0}}ight) = \lambda t \Rightarrow \ln 3 = \left(\frac{\ln 2}{50}ight) t$. $t$ के लिए हल करने पर: $t = 50 \left(\frac{\ln 3}{\ln 2}ight) 	ext{ वर्ष}$.

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