वक्रों के परिवार $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ के लंबकोणीय प्रक्षेप (orthogonal trajectories) ज्ञात कीजिए,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।

एक शहर की जनसंख्या उस समय जनसंख्या के समानुपाती दर से बढ़ती है। यदि जनसंख्या $20$ वर्षों में $40,000$ से बढ़कर $80,000$ हो जाती है,तो अगले $40$ वर्षों में जनसंख्या क्या होगी ($,000$ में)?

यदि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sin x+e^{x}$,$y(0)=3$,और $x=0$ पर $\frac{d y}{d x}$ का मान $4$ है,तो वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

गतिशील हवा में किसी पदार्थ के ठंडे होने की दर,पदार्थ के तापमान और हवा के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है। हवा का तापमान $290 \ K$ है और पदार्थ $10 \ \text{मिनट}$ में $370 \ K$ से $330 \ K$ तक ठंडा हो जाता है। तो पदार्थ को $295 \ K$ तक ठंडा होने में कितना समय लगेगा ($min$ में)?

एक गोलाकार वर्षा की बूंद अपने पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती दर से वाष्पित होती है। यदि इसकी मूल त्रिज्या $3 \text{ mm}$ है और $1 \text{ घंटे}$ बाद यह घटकर $2 \text{ mm}$ हो जाती है,तो किसी भी समय $t$ पर वर्षा की बूंद की त्रिज्या $r$ का व्यंजक क्या होगा (जहाँ $0 \leq t < 3$):

$(3, 0)$ से गुजरने वाला और अवकल समीकरण $(9 - x^2)(\frac{dy}{dx})^2 = 9 - y^2$ को संतुष्ट करने वाला वक्र क्या दर्शाता है?