જો $3x^{4} + 6x^{3} - 2x^{2} - 10x - 5$ ના બે શૂન્યો $\sqrt{\frac{5}{3}}$ અને $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ હોય,તો તેના બાકીના તમામ શૂન્યો શોધો.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 3x^{4} + 6x^{3} - 2x^{2} - 10x - 5$.
અહીં $\sqrt{\frac{5}{3}}$ અને $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ એ $p(x)$ ના બે શૂન્યો હોવાથી,$(x - \sqrt{\frac{5}{3}})(x + \sqrt{\frac{5}{3}}) = (x^{2} - \frac{5}{3})$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x)$ ને $(x^{2} - \frac{5}{3})$ વડે ભાગીશું:
$3x^{4} + 6x^{3} - 2x^{2} - 10x - 5 = (x^{2} - \frac{5}{3})(3x^{2} + 6x + 3)$
$= 3(x^{2} - \frac{5}{3})(x^{2} + 2x + 1)$
$= 3(x^{2} - \frac{5}{3})(x + 1)^{2}$
હવે,બાકીના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $(x + 1)^{2} = 0$ લઈએ,જેથી $x + 1 = 0$ મળે,એટલે કે $x = -1$.
અવયવ $(x + 1)^{2}$ હોવાથી,શૂન્ય $x = -1$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
આમ,બહુપદીના બાકીના બે શૂન્યો $-1$ અને $-1$ છે.