आयतन प्रसार गुणांक $(\alpha_V)$ और रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha_l)$ के बीच संबंध प्राप्त कीजिए।

(A) मान लीजिए $l$ भुजा की लंबाई वाला एक घन है। जब इसके तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि की जाती है,तो यह सभी विमाओं में समान रूप से फैलता है।
आयतन के सूत्र से,$V = l^3$ है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = (l + \Delta l)^3 - l^3$ है।
इसका विस्तार करने पर,$\Delta V = l^3 + 3l^2 \Delta l + 3l(\Delta l)^2 + (\Delta l)^3 - l^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta l$ बहुत छोटा है,इसलिए $(\Delta l)^2$ और $(\Delta l)^3$ नगण्य हैं। अतः,$\Delta V \approx 3l^2 \Delta l$ ... $(1)$.
रेखीय प्रसार की परिभाषा से,$\Delta l = \alpha_l l \Delta T$ ... $(2)$.
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\Delta V = 3l^2 (\alpha_l l \Delta T) = 3l^3 \alpha_l \Delta T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $V = l^3$,इसलिए $\Delta V = 3 V \alpha_l \Delta T$ ... $(3)$.
आयतन प्रसार के सामान्य समीकरण $\Delta V = \alpha_V V \Delta T$ के साथ समीकरण $(3)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha_V = 3 \alpha_l$.