प्रणोदित दोलन (forced oscillation) के लिए अवकल समीकरण प्राप्त कीजिए।

(N/A) निकाय में दोलनों को बनाए रखने के लिए,एक बाहरी आवर्ती बल लगाया जाता है,जो इस प्रकार है:
$F(t) = F_{0} \cos \omega_{d} t$
जहाँ $F_{0}$ आयाम है और $\omega_{d}$ ड्राइविंग बल की कोणीय आवृत्ति है।
दोलक पर तीन बल कार्य करते हैं:
$(1)$ प्रत्यानयन बल: $F_{r} = -k x(t)$
$(2)$ प्रतिरोधक (अवमंदन) बल: $F_{s} = -b v(t) = -b \frac{dx}{dt}$
$(3)$ बाहरी आवर्ती बल: $F_{d} = F_{0} \cos \omega_{d} t$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = ma(t) = m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ है।
अतः,$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = F_{r} + F_{s} + F_{d}$
$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -kx - b \frac{dx}{dt} + F_{0} \cos \omega_{d} t$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्रणोदित दोलन का अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + b \frac{dx}{dt} + kx = F_{0} \cos \omega_{d} t$
द्रव्यमान $m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{b}{m} \frac{dx}{dt} + \frac{k}{m} x = \frac{F_{0}}{m} \cos \omega_{d} t$