गतिशील स्रोत और गतिशील प्रेक्षक के लिए प्रेक्षक द्वारा प्रेक्षित आवृत्ति का समीकरण प्राप्त कीजिए।

(N/A) मान लीजिए कि प्रेक्षक से स्रोत की दिशा धनात्मक दिशा है।
मान लीजिए कि स्रोत और प्रेक्षक क्रमशः $v_{s}$ और $v_{0}$ वेग से गति कर रहे हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
मान लीजिए कि समय $t=0$ पर,प्रेक्षक $O_{1}$ पर है और स्रोत $S_{1}$ पर है,जहाँ $O_{1}$,$S_{1}$ के बाईं ओर है।
स्रोत $v$ वेग,$\nu$ आवृत्ति और $T_{0}$ आवर्तकाल वाली तरंग उत्सर्जित करता है,जिसे माध्यम के सापेक्ष स्थिर प्रेक्षक द्वारा मापा जाता है।
मान लीजिए कि $t=0$ पर $O_{1}$ और $S_{1}$ के बीच की दूरी $L$ है,जब स्रोत पहला श्रृंग (crest) उत्सर्जित करता है। चूंकि प्रेक्षक गति कर रहा है,प्रेक्षक के सापेक्ष तरंग का वेग $v+v_{0}$ है। इसलिए,पहला श्रृंग प्रेक्षक तक $t_{1}=\frac{L}{v+v_{0}}$ समय पर पहुँचता है।
समय $t=T_{0}$ पर,प्रेक्षक और स्रोत दोनों अपने नए स्थानों $O_{2}$ और $S_{2}$ पर पहुँच जाते हैं। प्रेक्षक और स्रोत के बीच की नई दूरी $O_{2}S_{2}$,$L+(v_{s}-v_{0})T_{0}$ होगी।
$S_{2}$ पर,स्रोत दूसरा श्रृंग उत्सर्जित करता है। यह प्रेक्षक तक $t_{2}=T_{0}+\frac{L+(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}}$ समय पर पहुँचता है।
समय $nT_{0}$ पर,स्रोत अपना $(n+1)^{th}$ श्रृंग उत्सर्जित करता है,और यह प्रेक्षक तक $t_{n+1}=nT_{0}+\frac{L+n(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}}$ समय पर पहुँचता है।
पहले और $(n+1)^{th}$ श्रृंग के आगमन के बीच का समय अंतराल $\Delta t = t_{n+1} - t_{1} = nT_{0} + \frac{n(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}} = nT_{0} \left(1 + \frac{v_{s}-v_{0}}{v+v_{0}}\right) = nT_{0} \left(\frac{v+v_{0}+v_{s}-v_{0}}{v+v_{0}}\right) = nT_{0} \left(\frac{v+v_{s}}{v+v_{0}}\right)$ है।
प्रेक्षित आवर्तकाल $T' = \frac{\Delta t}{n} = T_{0} \left(\frac{v+v_{s}}{v+v_{0}}\right)$ है।
अतः,प्रेक्षित आवृत्ति $\nu' = \frac{1}{T'} = \nu \left(\frac{v+v_{0}}{v+v_{s}}\right)$ है।