$-1$ ના $15^{\text{th}}$ મૂળ પૈકીનું એક ........... છે.

જો $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ હોય,$n \in \mathbb{N}$ અને $n > 2$ હોય,તો $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો જેથી $1+\omega$ એ $x^n-x=0$ નું બીજ હોય.

શૂન્યતર સંકર સંખ્યા $z$ માટે,ધારો કે $\arg (z)$ એ $z$ નો મુખ્ય કોણાંક દર્શાવે છે,જ્યાં $-\pi < \arg (z) \leq \pi$ છે. ધારો કે $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે જેના માટે $0 < \arg (\omega) < \pi$ છે. ધારો કે $\alpha = \arg \left(\sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n\right)$. તો $\frac{3 \alpha}{\pi}$ નું મૂલ્ય $.....$ છે.

જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય અને $\omega \neq 1$ એ એકમનું ઘનમૂળ હોય,તો $\left|e^{\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k}\right|$ ની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ હોય,તો $(3 + \omega + 3\omega^2)^4 = $

જો $|Z|=2$, $Z_1=\frac{Z}{2} e^{i \alpha}$ અને $\theta$ એ $\operatorname{amp}(Z)$ હોય, તો $\frac{Z_1^n-Z_1^{-n}}{Z_1^n+Z_1^{-n}}=$