मंगल ग्रह पर रहने वाले लोग,अवकलज की सामान्य प | vedclass

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Question

(C) दी गई परिभाषा $D^*f(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f^2(x + h) - f^2(x)}{h}$ है।यह फलन $g(x) = f^2(x) = [f(x)]^2$ के अवकलज की परिभाषा है।श्रृंखला नियम (

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$4e$

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(C) दी गई परिभाषा $D^*f(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f^2(x + h) - f^2(x)}{h}$ है।यह फलन $g(x) = f^2(x) = [f(x)]^2$ के अवकलज की परिभाषा है।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$D^*f(x) = \frac{d}{dx} [f(x)]^2 = 2f(x) \cdot f'(x)$ है।दिया गया है $f(x) = x \ln x$,गुणन नियम का उपयोग करके $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.अब,$D^*f(x)$ के व्यंजक में $f(x)$ और $f'(x)$ का मान रखने पर:$D^*f(x) = 2(x \ln x)(\ln x + 1)$.$x = e$ पर मान ज्ञात करने पर:$D^*f(e) = 2(e \ln e)(\ln e + 1) = 2(e \cdot 1)(1 + 1) = 2e(2) = 4e$.

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निम्नलिखित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाना चाहिए कि $a, b, c$ स्थिर शून्येतर स्थिरांक हैं): $\frac{1}{ax^{2}+bx+c}$

$x$ के सापेक्ष फलन $x^{x}+x^{a}+a^{x}+a^{a}$ का अवकलन कीजिए,जहाँ $a > 0$ और $x > 0$ निश्चित हैं।

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यदि $f(x) = \begin{cases} x-5, & \text{for } x \leq 1 \\ 4x^2-9, & \text{for } 1 < x < 2 \\ 3x+4, & \text{for } x \geq 2 \end{cases}$ है,तो $f^{\prime}(2^{+})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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