બિંદુ $A$ એ વક્ર $y = e^{-x^2}$ પર આવેલું છે અને તેના યામ $(x, e^{-x^2})$ છે જ્યાં $x > 0$ છે. બિંદુ $B$ ના યામ $(x, 0)$ છે. જો $O$ એ ઉગમબિંદુ હોય,તો ત્રિકોણ $AOB$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

એક રેખા પરના નિશ્ચિત બિંદુ $O$ થી માપેલ કણનું સ્થાનાંતર $S$,$S = t^3 - 16t^2 + 64t - 16$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તો કયા સમયે કણનું સ્થાનાંતર મહત્તમ હશે?

ધારો કે $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિધેય છે. ધારો કે $f$ બે વાર વિકલનીય છે,$f(0)=f(1)=0$ અને $x \in[0,1]$ માટે $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$ નું પાલન કરે છે.
$1.$ $0 < x < 1$ માટે નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $0 < f(x) < \infty$
$(B)$ $-\frac{1}{2} < f(x) < \frac{1}{2}$
$(C)$ $-\frac{1}{4} < f(x) < 1$
$(D)$ $-\infty < f(x) < 0$
$2.$ જો વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ અંતરાલ $[0,1]$ માં તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x=\frac{1}{4}$ પર ધારણ કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(B)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(C)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$
$(D)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$

ધારો કે વિધેય $f(x)$ આ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે: $f(x) = \begin{cases} \cos^{-1}(\mu) + x^2, & 0 < x < 1 \\ 4x, & x \geqslant 1 \end{cases}$. જો $\mu$ ની કિંમત કયા અંતરાલમાં હોય તો વિધેય $f(x)$ ને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે?

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકમાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા શંકુની ઊંચાઈ કેટલી થાય?

જો $P$ એ $12 \text{ cm}$ લંબાઈના રેખાખંડ $AB$ પરનું એક બિંદુ હોય,તો $AP^{2} + BP^{2}$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $P$ નું સ્થાન કેવું હશે?