सिद्ध कीजिए कि $\tan ^{-1} \sqrt{x} = \frac{1}{2} \cos ^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$,जहाँ $x \in [0, 1]$ है।

माना $x = \tan^2 \theta$ है।
तब $\sqrt{x} = \tan \theta$,जिसका अर्थ है $\theta = \tan^{-1} \sqrt{x}$।
व्यंजक $\frac{1-x}{1+x}$ पर विचार करें। $x = \tan^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos(2\theta)$।
अब,दायां पक्ष $(RHS)$ पर विचार करें:
$RHS = \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$
$= \frac{1}{2} \cos^{-1} (\cos 2\theta)$
$= \frac{1}{2} \times 2\theta = \theta$।
चूंकि $\theta = \tan^{-1} \sqrt{x}$,इसलिए $RHS = \tan^{-1} \sqrt{x} = LHS$।
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।