सिद्ध कीजिए कि,यदि $a$ और $b$ विषम धनात्मक पूर्णांक हैं,तो $a^{2} + b^{2}$ सम है लेकिन $4$ से विभाज्य नहीं है।

(N/A) मान लीजिए कि $a$ और $b$ दो विषम धनात्मक पूर्णांक हैं। किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक को किसी पूर्णांक $n$ के लिए $2n + 1$ या $2n - 1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
मान लीजिए $a = 2m + 1$ और $b = 2n + 1$ है,जहाँ $m$ और $n$ पूर्णांक हैं।
तब,$a^{2} = (2m + 1)^{2} = 4m^{2} + 4m + 1 = 4(m^{2} + m) + 1$.
इसी प्रकार,$b^{2} = (2n + 1)^{2} = 4n^{2} + 4n + 1 = 4(n^{2} + n) + 1$.
अब,$a^{2} + b^{2} = [4(m^{2} + m) + 1] + [4(n^{2} + n) + 1] = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
मान लीजिए $k = m^{2} + m + n^{2} + n$. तो $a^{2} + b^{2} = 4k + 2$.
चूंकि $a^{2} + b^{2} = 2(2k + 1)$,यह स्पष्ट रूप से एक सम संख्या है।
हालाँकि,जब $4k + 2$ को $4$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $2$ प्राप्त होता है। इसलिए,$a^{2} + b^{2}$ संख्या $4$ से विभाज्य नहीं है।