સાબિત કરો કે,જો $a$ અને $b$ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકો હોય,તો $a^{2} + b^{2}$ એ યુગ્મ છે પરંતુ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.

(N/A) ધારો કે $a$ અને $b$ બે અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકો છે. કોઈપણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંકને કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે $2n + 1$ અથવા $2n - 1$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $a = 2m + 1$ અને $b = 2n + 1$ છે,જ્યાં $m$ અને $n$ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી,$a^{2} = (2m + 1)^{2} = 4m^{2} + 4m + 1 = 4(m^{2} + m) + 1$.
તે જ રીતે,$b^{2} = (2n + 1)^{2} = 4n^{2} + 4n + 1 = 4(n^{2} + n) + 1$.
હવે,$a^{2} + b^{2} = [4(m^{2} + m) + 1] + [4(n^{2} + n) + 1] = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
ધારો કે $k = m^{2} + m + n^{2} + n$. તો $a^{2} + b^{2} = 4k + 2$.
કારણ કે $a^{2} + b^{2} = 2(2k + 1)$,તે સ્પષ્ટપણે એક યુગ્મ સંખ્યા છે.
જો કે,જ્યારે $4k + 2$ ને $4$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $2$ વધે છે. તેથી,$a^{2} + b^{2}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.