સાબિત કરો કે $(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=3(a+b)(b+c)(c+a).$

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^3$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે તેને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ વિસ્તૃત કરી શકીએ છીએ:
$(a+b+c)^3 = [(a+b)+c]^3$
$= (a+b)^3 + 3(a+b)^2c + 3(a+b)c^2 + c^3$
$= (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3(a^2 + 2ab + b^2)c + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3$
$= a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2$
હવે,બંને બાજુથી $(a^3 + b^3 + c^3)$ બાદ કરતા:
$(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2$
જમણી બાજુથી $3$ સામાન્ય લેતા:
$= 3[a^2b + ab^2 + a^2c + 2abc + b^2c + ac^2 + bc^2]$
આ પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$= 3(a+b)(b+c)(c+a)$
આમ,સાબિત થાય છે કે $(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)$.