सिद्ध कीजिए कि $(a-b)^{2}, (a^{2}+b^{2})$ और $(a+b)^{2}$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि दिए गए पद $(a-b)^{2}, (a^{2}+b^{2})$ और $(a+b)^{2}$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं,हमें यह दिखाना होगा कि क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान है।
माना पद $T_1 = (a-b)^2$,$T_2 = (a^2+b^2)$,और $T_3 = (a+b)^2$ हैं।
सबसे पहले,दूसरे और पहले पद के बीच का अंतर $(d_1)$ ज्ञात करें:
$d_1 = T_2 - T_1 = (a^2 + b^2) - (a - b)^2$
$d_1 = (a^2 + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$
$d_1 = a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 2ab$
अब,तीसरे और दूसरे पद के बीच का अंतर $(d_2)$ ज्ञात करें:
$d_2 = T_3 - T_2 = (a + b)^2 - (a^2 + b^2)$
$d_2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 + b^2)$
$d_2 = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$
चूंकि $d_1 = d_2 = 2ab$,इसलिए सार्व अंतर समान है।
अतः,दिए गए पद एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं।