સાબિત કરો કે $(a-b)^{2}, (a^{2}+b^{2})$ અને $(a+b)^{2}$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.

(N/A) આપેલ પદો $(a-b)^{2}, (a^{2}+b^{2})$ અને $(a+b)^{2}$ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે.
ધારો કે પદો $T_1 = (a-b)^2$,$T_2 = (a^2+b^2)$,અને $T_3 = (a+b)^2$ છે.
પ્રથમ,બીજા અને પ્રથમ પદ વચ્ચેનો તફાવત $(d_1)$ શોધો:
$d_1 = T_2 - T_1 = (a^2 + b^2) - (a - b)^2$
$d_1 = (a^2 + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$
$d_1 = a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 2ab$
હવે,ત્રીજા અને બીજા પદ વચ્ચેનો તફાવત $(d_2)$ શોધો:
$d_2 = T_3 - T_2 = (a + b)^2 - (a^2 + b^2)$
$d_2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 + b^2)$
$d_2 = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$
અહીં $d_1 = d_2 = 2ab$ હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન છે.
તેથી,આપેલ પદો સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.