સાબિત કરો કે $\sqrt{2}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,એવા પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આ દર્શાવે છે કે $a^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$a$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે (અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ).
તેથી,આપણે કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $a = 2k$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને $a^2 = 2b^2$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4k^2 = 2b^2$ અથવા $b^2 = 2k^2$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $b^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંનેમાં ઓછામાં ઓછો $2$ સામાન્ય અવયવ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{2}$ સંમેય છે તે ખોટી છે,અને $\sqrt{2}$ અસંમેય જ હોવી જોઈએ.