सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज के किसी कोण का कोण समद्विभाजक और सम्मुख भुजा का लंब समद्विभाजक यदि प्रतिच्छेद करते हैं,तो वे त्रिभुज के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।

(N/A) दिया है: एक $\Delta ABC$ और एक रेखा $l$ जो $BC$ का लंब समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है: $\angle A$ का कोण समद्विभाजक और $BC$ का लंब समद्विभाजक $\Delta ABC$ के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।
उपपत्ति: मान लीजिए कि $\angle A$ का कोण समद्विभाजक $\Delta ABC$ के परिवृत्त को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करता है। $BP$ और $CP$ को मिलाइए।
चूंकि एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\angle BAP = \angle BCP$
चूंकि $AP$,$\angle A$ का समद्विभाजक है,इसलिए हमारे पास है:
$\angle BAP = \angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$
अतः,$\angle BCP = \frac{1}{2} \angle A$ $...(1)$
इसी प्रकार,समान वृत्तखंड में,$\angle PAC = \angle PBC$ है।
चूंकि $\angle PAC = \frac{1}{2} \angle A$ है,इसलिए हमारे पास है:
$\angle PBC = \frac{1}{2} \angle A$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BCP = \angle PBC$
$\Delta PBC$ में,चूंकि आधार के कोण बराबर हैं,इसलिए उनके सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं:
$BP = CP$
चूंकि $P$,$B$ और $C$ से समान दूरी पर है,इसलिए $P$ को $BC$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
अतः,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक और $BC$ का लंब समद्विभाजक $\Delta ABC$ के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।