सभी $n \in N$ के लिए गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \ldots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1}$

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है:
$P(n): \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \ldots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{n}{3n+1}$
$n=1$ के लिए,हमारे पास है:
$P(1): \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4}$ और $\frac{1}{3(1)+1} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$P(k): \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \ldots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{k}{3k+1}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का योग लें:
$\left\{ \frac{1}{1 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} \right\} + \frac{1}{\{3(k+1)-2\}\{3(k+1)+1\}}$
$= \frac{k}{3k+1} + \frac{1}{(3k+1)(3k+4)}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{1}{3k+1} \left\{ k + \frac{1}{3k+4} \right\}$
$= \frac{1}{3k+1} \left\{ \frac{k(3k+4) + 1}{3k+4} \right\}$
$= \frac{3k^2 + 4k + 1}{(3k+1)(3k+4)}$
$= \frac{(3k+1)(k+1)}{(3k+1)(3k+4)}$
$= \frac{k+1}{3k+4} = \frac{k+1}{3(k+1)+1}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।