सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए,$3^{2n+2} - 8n - 9$,$8$ से विभाज्य है,गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके।
(N/A) माना दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात $P(n): 3^{2n+2} - 8n - 9$,$8$ से विभाज्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$3^{2(1)+2} - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$। चूंकि $64$,$8$ से विभाज्य है,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $3^{2k+2} - 8k - 9 = 8m$ किसी $m \in N$ के लिए। अतः,$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$।
चरण $3$: हमें दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9$,$8$ से विभाज्य है।
$3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 = 3^2 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17$ पर विचार करें।
$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 9(8m + 8k + 9) - 8k - 17$
$= 72m + 72k + 81 - 8k - 17$
$= 72m + 64k + 64$
$= 8(9m + 8k + 8)$।
चूंकि यह $8$ का गुणज है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
चरण $1$: $n = 1$ के लिए,$3^{2(1)+2} - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$। चूंकि $64$,$8$ से विभाज्य है,इसलिए $P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात $3^{2k+2} - 8k - 9 = 8m$ किसी $m \in N$ के लिए। अतः,$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$।
चरण $3$: हमें दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है,अर्थात $3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9$,$8$ से विभाज्य है।
$3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 = 3^2 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17$ पर विचार करें।
$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 9(8m + 8k + 9) - 8k - 17$
$= 72m + 72k + 81 - 8k - 17$
$= 72m + 64k + 64$
$= 8(9m + 8k + 8)$।
चूंकि यह $8$ का गुणज है,इसलिए $P(k+1)$ सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
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