સાબિત કરો કે ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતાં ચોથા ભાગનું હોય છે.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $D, E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC, AC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુઓના યામ $D = (\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$,$E = (\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2})$ અને $F = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ છે.
$\triangle DEF$ માટે ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_D(y_E - y_F) + x_E(y_F - y_D) + x_F(y_D - y_E)|$ તરીકે ગણીએ છીએ.
યામોને મૂકીને અને સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $\triangle DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$\triangle AFE \sim \triangle ABC$ ગુણોત્તર $1:2$ સાથે,તેથી $\text{Area}(\triangle AFE) = \frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$. અન્ય નાના ત્રિકોણો માટે પણ આ જ રીતે,મધ્ય ત્રિકોણ $\triangle DEF$ નું ક્ષેત્રફળ પણ $\frac{1}{4} \text{Area}(\triangle ABC)$ જેટલું થાય છે.