सिद्ध कीजिए कि किसी दिए गए शंकु के अंतर्गत अधिकतम वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले लंबवृत्तीय बेलन की त्रिज्या,शंकु की त्रिज्या की आधी होती है।

(N/A) माना $OC = r$ शंकु की त्रिज्या है और $OA = h$ इसकी ऊँचाई है। माना $OE = x$ त्रिज्या वाला एक बेलन दिए गए शंकु के अंतर्गत है। बेलन की ऊँचाई $QE$ इस प्रकार दी गई है:
$\frac{QE}{OA} = \frac{EC}{OC}$ (क्योंकि $\Delta QEC \sim \Delta AOC$)
$\frac{QE}{h} = \frac{r - x}{r}$
$QE = \frac{h(r - x)}{r}$
माना $S$ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है। तब:
$S(x) = 2 \pi x \cdot QE = 2 \pi x \cdot \frac{h(r - x)}{r} = \frac{2 \pi h}{r}(rx - x^2)$
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $S'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$S'(x) = \frac{2 \pi h}{r}(r - 2x)$
$S'(x) = 0$ रखने पर,$r - 2x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{r}{2}$.
अब,द्वितीय अवकलज $S''(x)$ ज्ञात करें:
$S''(x) = \frac{2 \pi h}{r}(-2) = -\frac{4 \pi h}{r}$
चूँकि सभी $x$ के लिए $S''(x) < 0$ है,इसलिए फलन $S(x)$ का मान $x = \frac{r}{2}$ पर अधिकतम है।
अतः,अधिकतम वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी होती है।