સાબિત કરો કે $\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta},$ નિત્યસમ $\sec ^{2} \theta=1+\tan ^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરીને.

(A) આ નિત્યસમ સાબિત કરવા માટે,આપણે $LHS$ ના અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગીશું જેથી તેને $\tan \theta$ અને $\sec \theta$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય.
$LHS = \frac{\sin \theta - \cos \theta + 1}{\sin \theta + \cos \theta - 1} = \frac{\tan \theta - 1 + \sec \theta}{\tan \theta + 1 - \sec \theta}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - 1}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,અંશમાં $1$ ની કિંમત મૂકતા:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને અંશનું અવયવીકરણ કરતા:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) - (\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta)}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$(\tan \theta + \sec \theta)$ ને સામાન્ય લેતા:
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) [1 - (\sec \theta - \tan \theta)]}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1}$
$LHS = \frac{(\tan \theta + \sec \theta) [1 - \sec \theta + \tan \theta]}{(\tan \theta - \sec \theta + 1)}$
સમાન પદ $(\tan \theta - \sec \theta + 1)$ ને છેદતા:
$LHS = \tan \theta + \sec \theta$
$RHS$ મેળવવા માટે,$(\sec \theta - \tan \theta)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$LHS = \frac{(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta)}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{\sec^2 \theta - \tan^2 \theta}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} = RHS.$